Projekte

Fachgebiet: Mathematik / Informatik

Fourierreihen für Distributionen: Konvergenz durch Gewichtung

Auszug aus der Präsentation

Eric Gulbins

Schule: Otto-von-Taube-Gymnasium, Gauting
Regionalwettbewerb: München-West

Projektbeschreibung

Für eine zweifach stetig differenzierbare Funktion f lassen sich die Fourierkoeffizienten ihrer Ableitung leicht aus denen von f berechnen, und die resultierende Fourierreihe konvergiert gleichmäßig gegen f'. Nach dem Satz von Dirichlet konvergiert die derartig gebildete Fourierreihe für einfach stetig differenzierbare Funktionen auch, allerdings nur punktweise. Falls f nicht stetig ist, ist die auf diese Weise ermittelte Ableitung der Fourierreihe typischerweise fast überall divergent.
In diesem Projekt wird deshalb ein Theorem aufgestellt und bewiesen, das zeigt, wie man die Fourierkoeffizienten durch eine passende Gewichtung modifizieren kann, sodass die analoge Fourierreihe an allen Stellen, an denen f stetig differenzierbar ist, puntweise gegen die Ableitung f' konvergiert.
Es wird außerdem betrachtet, wie die Fourierreihe einer Funktion f, im distributionellen Sinne betrachtet, modifiziert werden kann, damit sie gegen die Ableitung der von f erzeugten Distribution konvergiert.


Platz: 2

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